Том 60, № 7 (2024)

Исследована симметричная задача на собственные значения с нелинейной зависимостью от спектрального параметра в гильбертовом пространстве, которое является векторной решёткой с конусом положительных элементов. Установлено существование положительного простого минимального собственного значения, соответствующего единственному нормированному положительному собственному элементу. Изучена аппроксимация задачи в конечномерном подпространстве. Получены результаты о сходимости и погрешности приближений к минимальному собственному значению и соответствующему положительному собственному элементу. Разработаны и обоснованы вычислительные методы решения матричных задач на собственные значения с нелинейной зависимостью от спектрального параметра. Приведены результаты численных экспериментов, иллюстрирующие теоретические выводы.

Для решения уравнений модели Капилы, описывающей двухфазные течения, являющейся неконсервативной гиперболической системой уравнений первого порядка и, таким образом, требующей указания конкретного вида регуляризующего диссипативного оператора, выделяющего единственное решение задачи, применяется разностная схема с хорошо контролируемой диссипацией. Суть таких схем заключается в том, что диссипативный оператор, который определяется видом их первого дифференциального приближения, совпадает с точностью до малых высшего порядка с заданным оператором, использованным при определении обобщённого решения в континуальной постановке. В результате ожидается сходимость численного решения схемы к заданному решению. Численные эксперименты, представленные в работе, демонстрируют эффективность такого подхода. В качестве точных решений используются численные решения типа бегущей волны, полученные другим методом.

Предложена консервативная разностная схема для уравнения теплопроводности в двумерной области с подвижными границами. Изложение ведётся на примере двухфазной задачи Стефана. С помощью динамической замены переменных область с внутренней подвижной границей отображается в прямоугольную область с фиксированными границами, совпадающими с координатными линиями. Разностная схема построена с помощью интегро-интерполяционного метода на неподвижной прямоугольной сетке. Получены формулы, позволяющие вычислять якобиан замены переменных и скорость границы контрольного объёма, удовлетворяющие дискретному аналогу уравнения переноса якобиана и обеспечивающие выполнение геометрического закона сохранения в физической системе координат. Доказано, что предложенная разностная схема наследует основные свойства исходной дифференциальной задачи.

Найдено приближённое решение линейного интегро-дифференциального уравнения с особым дифференциальным оператором в главной части в пространстве обобщённых функций. Предложен обобщённый сплайн-метод и установлена его оптимальность по порядку точности.